アブストラクトゲームと数学 コラム 2 Introduction †
このページでは、The Ring Worldで使っているボードの数学的性質を検討するページです。 円の半径 †左の図の、大きな円の半径Rで、外周に配置した円の半径rを表してみましょう。 外周の円の中心を結ぶと正八角形になります。また、図の、pqは、小さな円の中心を通る大きな円の接線です。この接線をそれぞれの円について引いてできあがる図形は、正八角形です。ですので、角poqは円周の1/8の半分ですので、θ=π/8 です。 ということで、 r/R = tan(π/8) rは、 r = R・tan(π/8) と表せます。 フラクタル次元 †![]() この図形は、Ringの中に相似な図形を持つフラクタル形状を成しています。この図形のフラクタル次元は、元の円の半径をRとすると、一つ下の階層の円が8個、その半径は、R・tan(π/8)になるので、 log1/tan(π/8)(8) = log10(8) /log10(1/tan(π/8)) およそ 2.36*1 となります。 図形の径を求める †![]() この図形は、階層を掘り下げていくと、一体どれくらいの大きさになるのでしょうか。 フラクタルの階層がどんどん増えると、図は無限に大きくなるのか考えてみましょう。 はじめの階層の円半径を1として、階層数を0から数えると、n階層の図形の半径rnは、 ここで、-1 < t < 1 なので、べき級数 rn は収束します。 級数が何に収束するのか忘れてしまった人のために、少し詳しく書きますと、 rnは無限級数です。n→∞ のとき、tn+2は、 -1 < t < 1
によって、0になります。よって、 円の重なり †この項目は、書きかけです 右の図は、プログラムによって描いた図形です。描き方は、各階層の円を描き、一つしたの階層に8個の円を機械的に配置する作業を再帰的におこなっています。そこで、図を良く見てください(クリックすると拡大します)。場所によって、円の色が濃くなっているところがあります。まるで、円盤を積み重ねたように見えるかと思います。プログラムで描く円は、半透明処理が施してあるので、繰り返し描かれた位置が濃く浮き出るように描かれています。 ここでは、このように再帰的に図形を配置した場合、どの位置に重なりが生じるのか検討してみましょう。 フラクタル図形の外周を求める †この項目は、書きかけです 先に、フラクタル階層が無限になっていった場合の、この図形の径を求めました。 その際、径は収束することがわかりましたが、外周の長さはどうでしょうか。 SEE ALSO †Feedback †
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